Bilangan Kompleks (Mata Kuliah matematika Dasar)

Bismillah..postingan ini..untuk mahasiswa Fakultas Syariah Jurusan AS pada Sekolah Tinggi Agama Islam Negeri (STAIN) Zawiyah Cot Kala Langsa.Dikarenakan tatap muka kita di kelas sangat singkat sekali dalam seminggu selama 100 menit sementara materi yang harus dipelajari banyak sekali maka Saya berinisiatif untuk menambah bahan perkuliahan di dalam blog saya ini. Semoga postingan ini bermanfaat untuk kita semua…

Pendahuluan :
Simbol j
Pemecahan persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0 tentu saja dapat diperoleh dengan rumus,
X =
Contoh 1. jika 2x2 + 9x + 7 = 0, maka kita peroleh,
X = = = = = = atau
= =

Akar Negatif
√64=8 atau-8
√(-64) = √(-1) . √64 = j . 8 = 8j
√(-81) = √(-1) . √81 = j . 9 = 9j
√(-36) = √(-1) . √36 = j . 6 = 6j
√(-25) = √(-1) . √25 = j . 5 = 5j

Pada contoh diatas, kita masih menemukan masalah, jika kita mencoba memecahkan permasalahan 5x2 – 6x + 5 = 0, maka dengan cara yang sama dapat diselesaikan…

X = = = = =
=0,6 + j 0,8 atau = 0,6 + j 0,8

Contoh yang lain : x2 + 6x + 34 = 0, maka kita peroleh,
x = = = =
= =3 + j 5 atau = 3 - j 5 ( 3 merupakan bilangan riil, 5 = merupakan bilangan imanjiner (bukan j5), dan gabungan dari keduanya disebut bilangan kompleks).

Pangkat dari J
J = √(-1)
J2 = -1
J3 = j2 . j = -1 . j
J4 = (j2)2
J5 = (j4). J
J6 = (j4) . j = 1 . j = j
J7 = (j4) . j2 = 1 . –j = -j
J8 = (j4)2 =1 = 1
J9 = (j4)2 j = 1 . j = j
J15 = (j4)3 j3
J20= (j4)5 = 15 = 1
J30 = (j4)7 j2 =17 . -1 = -1

Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks
Walaupun bilangan riil dan bilangan imajiner tidak dapat digabungkan, kita boleh membuka tanda kurungnya.
Rumus : ( a + jb) + ( c + jd )
Contoh : 1. (4 + j5) + ( 3 – j2 ) = 4 + 3 + j5 – j2 = 7 + 3j
2. (4 + j7) – ( 2 – j5 ) = 4 – 2 + j7 + j5 = 2 + j12
Jika menjumlahkan atau mengurabfkan dengan tiga factor maka jumlahkan atau kurangkan bilangan riil terlebih dahulu secara keseluruhan, baru dijumlahkan bilangan imanjiner secara keseluruhannya juga.
Contoh : 1. ( 5 + j7 ) + ( 3 – j4) – ( 6 – j3 ) = 5 +3 – 6 - j7 – j4 + j3 = 2 + j6
2. ( 6 + j5 ) – ( 4 – j3 ) + ( 2 – j7 ) = 6 – 4 + 2 + j5 + j3 – j7 = 4 + j
3. ( 3 + j5 ) – ( 5 – j4 ) – ( -2 – j3 ) = 3 - 5 + 2 + j5 + j4 + j3 = 0 + j12
5. Perkalian Bilangan Kompleks
Rumus : (a + b) (a – b) = a2 – b2 = a2 – b2
Contoh : 1. (3 + j4) (2 + 75) = 6 + j8 + j15 + j2 20 = 6 + j23 + (-1). 20 = -14 + j23
2. (4 – j5) (2 – j5)(1 – j2) = 12 – j15 + j8 – j2 10 = 12 – j7 – (-1).10 = 22 – j7
Jika mengalikan tiga factor maka harus dilakukan secara bertahap, lakukan dengan dua factor terlebih dahulu, lalu hasilnya baru dikalikan dengan factor ketiga.
Contoh : 1. (3 + j4)(2 – j5)(1-j2) = (6+j8-j15-j220)(1-j2) =(6-j7-(-1)2.20)(1-j2)= (6-j7 + 20)= 26 – j7
Hasil dua factor tadi kalikan dengan factor ketiga, jadi
(26 – j7)(1-j2) = 26 – j7 – j52 + j214 = 26 – j59 + (-1).14 = 26 – j59 – 14 = 12 – j59
Kadang kala kite bertemu dengan persoalan khusus, meskipun kita tidak melihat adanya suku j, bias jadi hasil ini sepenuhnya bilangan riiil.

Sumber : Kastroud, Matematika Untuk Teknik, Erlangga : Jakarta